Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfracdydx=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: \beginalign \int f(x)dx & = F(x)+c \endalign dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
$\beginalign\int f(x) & : \textnotasi integral tak tentu \\F(x)+c & : \textfungsi antiturunan \\f(x) & : \textfungsi yang diintegralkan (integran) \\c & : \textkonstanta \\d(x) & : \textdiferensial (turunan) dari\ x \endalign$
50 Soal Dan Jawaban Integral Pdf
Pada buku-buku kalkulus disampaikan Teorema Dasar Kalkulus (integral tentu) secara sederhana dapat kita tuliskan seperti berikut ini:Jika fungsi $f$ kontinu (fungsi kontinu secara sederhana dapat dikatakan fungsi yang tidak terputus atau terpotong) pada interval $\left[a,b\right]$ dan fungsi $F$ anti turunan (anti diferensial) dari $f$, maka: \beginalign\int \limits_a^b f(x) dx= F \left( b \right)-F \left( a \right) \endalign
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta?.
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $\beginalign&\int \left ( 12x^2-4x+1 \right )\ dx \\& = \dfrac122+1x^2+1-\dfrac41+1x^1+1+1x+C\\& = 4x^3-2x^2+ x+C\endalign$
Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $\beginalign &\int \limits \left ( 3x^2-5x+4 \right )\ dx \\& = \dfrac32+1x^2+1-\dfrac51+1x^1+1+4x+C\\& = x^3-\dfrac52x^2+4x+C\\\endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\beginalign& \int \left (2x^3-9x^2+4x-5 \right ) \\& = \dfrac23+1x^3+1-\dfrac92+1x^2+1+\dfrac41+1x^1+1-5x+C \\& = \dfrac24x^4-\dfrac93x^3+\dfrac42x^2-5x+C \\& = \dfrac12x^4-3x^3+2x^2-5x+C\endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\beginalignu & = x^2-4x+3 \\\dfracdudx & = 2x-4 \\\dfracdudx & = 2 (x-2) \\\dfrac12\ du & = (x-2)\ dx \endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\beginalignu & = x^2-x+3 \\\dfracdudx & = 2x-1 \\du & = (2x-1)\ dx \endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\beginalignu &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac14 \left( u-1 \right) \\du &= 4 dx \\\dfrac14 du &= dx\endalign$Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;$\beginalign\int \limits x \sqrt4x+1\ dx &= \int \limits \dfrac14 \left( u-1 \right) \sqrtu\ dx \\&= \int \limits \dfrac14 \left( u-1 \right) \cdot u^\frac12\ \dfrac14 du \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac14 \int \limits \left( u^\frac32-u^\frac12 \right)\ du \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac14 \left[ \dfrac25 u^\frac52-\dfrac23 u^\frac32 \right] + C \\&= \dfrac14 \cdot \left( \dfrac110 u^\frac52-\dfrac16 u^\frac32 \right) + C \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac160u^\frac32 \left( 6 u^1-10 \right) + C \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac160\left( 4x+1 \right)^\frac32 \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac160\left( 4x+1 \right)^\frac32 \left( 24x+6 -10 \right) + C \\&= \dfrac14 \cdot \dfrac160\left( 4x+1 \right)^\frac32 \left( 24x-4 \right) + C \\&= \dfrac160\left( 4x+1 \right)^\frac32 \left( 6x-1 \right) + C \\\endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \beginalign& \int \limits \left ( 2x-\dfrac12x \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( 4x^2-2+\dfrac14x^2 \right ) dx \\& = \int \limits \left ( 4x^2-2+\dfrac14x^-2 \right ) dx \\& = \dfrac42+1x^2+1-2x+\dfrac\frac14-2+1x^-2+1 + C \\& = \dfrac43x^3-2x-\dfrac14x+C\endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \beginalignf \left( x \right) &= \int x^2\ dx \\&= \dfrac12+1x^2+1+c \\ &= \dfrac13x^3+c \\\hlinef \left( 2 \right) &= \dfrac13(2)^3+c \\-\dfrac193 &= \dfrac83+c \\-\dfrac193 -\dfrac83&= c \\ -\dfrac273 &= c \\ -9 &= c \\ \hlinef \left( x \right) &= \dfrac13x^3+c \\&= \dfrac13x^3 -9\endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:Untuk $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac14ax^2+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\left( x \right) =\dfrac12ax +b$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \beginalign& \int \limits \left ( \dfrac-16-6x^4x^2 \right ) dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac-16x^2 - \dfrac6x^4x^2 \right ) dx \\& = \int \limits \left ( -16 x^-2 -6x^4-2 \right ) dx \\& = \int \limits \left ( -16 x^-2 -6x^2 \right ) dx \\& = \dfrac-16-2+1 x^-2+1 -\dfrac62+1x^2+1+C \\& = 16 x^-1 -2x^3+C \\& = \dfrac16x-2x^3+C\endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \beginalign & \int \dfrac3 \left( 1-x \right)1 + \sqrtx\ dx \\&= \int \dfrac3 \left( 1-x \right)1 + \sqrtx\ \times \dfrac1 - \sqrtx1 - \sqrtx\ dx \\&= \int \dfrac3 \left( 1-x \right)\left( 1 - \sqrtx \right)1 - x\ dx \\&= 3 \int \left( 1 - \sqrtx \right) dx \\&= 3 \left( x - \frac23 x \sqrtx \right) + C\\&= 3 x - 2x \sqrtx + C \endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \beginalign & \int \dfracx^2-\sqrtxx\ dx \\&= \int \left( \dfracx^2x-\dfrac\sqrtxx \right)\ dx \\&= \int \left( x - x^-\frac12 \right)\ dx \\&= \dfrac12x^2 -2x^ \frac12 +C \\&= \dfrac12x^2 -2\sqrtx + C\endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\beginalign u & = x^3-1 \\\dfracdudx & = 3x^2 \\du & = 3x^2\ dx \endalign$ Soal di atas, kini dapat kita tuliskan menjadi;$\beginalign&\int 9x^2 \sqrtx^3-1\ dx \\& = \int 3 \cdot 3x^2 \sqrtx^3-1\ dx \\& = \int 3 \cdot \sqrtx^3-1\ 3x^2\ dx \\& = \int 3 \cdot \sqrtu\ du \\ & = 3 \cdot \frac23 \cdot \left( u \right) \sqrtu\ +C \\& = 3 \cdot \frac23 \cdot \left( x^3-1 \right) \sqrtx^3-1\ +C \\& = 2 \cdot \left( x^3-1 \right) \sqrtx^3-1\ +C\endalign$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \beginalign& \int \limits \left ( \dfracx^4-1x^3+x \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac \left( x^2-1 \right)\left( x^2+1 \right)x \left( x^2+1 \right) \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac \left( x^2-1 \right) x \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac x^2 x -\dfrac 1 x \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( x-x^-1 \right )^2 dx \\& = \int \limits \left ( x^2-2+x^-2 \right ) dx \\& = \dfrac12+1x^2+1-2x+ \dfrac1-2+1x^-2+1 + C \\& = \dfrac13x^3-2x- \dfrac1x + C \endalign $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^n\ dx=\dfrac1n+1x^n+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\beginalign u & = 2-x^3 \rightarrow 2-u = x^3\\\dfracdudx & = -3x^2 \\du & = -3x^2\ dx \rightarrow -\dfrac13du = x^2dx \\\endalign$Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;$\beginalign& \int \limits x^5\left ( 2-x^3 \right )^\frac12\ dx \\& = \int \limits x^2 \cdot x^3 \left ( u \right )^\frac12\ dx \\& = \int \limits x^3 \cdot u^\frac12\ x^2 dx \\& = \int \limits \left ( 2-u \right ) u^\frac12\ \left (-\dfrac13du \right ) \\& = -\dfrac13 \int \limits \left ( 2u^\frac12-u^\frac32 \right ) \ du \\& = -\dfrac13 \cdot \left ( \frac43u^\frac32-\frac25u^\frac52 \right ) + C \\& =-\dfrac13 \cdot \left ( \frac43u^\frac32-\frac25u^\frac52 \right ) + C \\& =-\dfrac13 \cdot \dfrac115u^\frac32 \left ( 20 - 6u \right )+ C \\& =-\dfrac145\left (2-x^3 \right )^\frac32 \left ( 20 - 6\left (2-x^3 \right ) \right )+ C \\& =-\dfrac145\left (2-x^3 \right )^\frac32 \left ( 20 - 12+6x^3 \right )+ C \\& =-\dfrac145\left (2-x^3 \right )^\frac32 \left ( 8+6x^3 \right )+ C \\& =-\dfrac245\left (2-x^3 \right )^\frac32 \left ( 4+3x^3 \right )+ C\endalign$ 2ff7e9595c
Comments